Сначала немного истории.

К 1959 году усилиями трех ученых Эдварда Шаттона (1925), Херберта Коупланда (1947,1956) и Роберта Уиттакера (1959) появилась новая система классификации живых организмов.

Дальше — больше.

Пока ученые оттачивают систему классификации живых организмов, на школьном уровне сохраняется система классификации, в которой все живое делится на пять царств:бактерии, простейшие, грибы, растения и животные.
Царства, в свою очередь, делятся на типы, типы — на классы, классы — на подклассы, подклассы — на отряды, отряды делится на семейства, семейства — на роды, роды — на виды. Вид — это название конкретного живого организма, например «заяц-беляк».
В своем вопросе Вы упоминаете живые организмы из трех разных царств: грибов, растений и животных.
Больше всего удивляет, наверное, тот факт, что гриб — это не растение.
Но, биологи настаивают:

Не будем с ними спорить, им виднее.
Что касается пауков, насекомых и рыб, то эти живые организмы входят в царство животных, но относятся к разным типам. Существует 10 типов животных: губки, мшанки, плоские черви, круглые черви, кольчатые черви, кишечнополостные, членистоногие, моллюски, иглокожие и хордовые.
Насекомых и пауков относят к типу членистоногих, а рыб — к хордовым.
Пауки и насекомые имеют существенные различия, и их поместили в отдельные классы: насекомых отнесли к классу насекомых, а пауков — к классу паукообразных.
Итак, классифицируем упомянутые живые организмы.
Грибы: царство грибов.
Растения: царство растений.
Пауки: царство — животные, тип — членистоногие, класс — паукообразные.
Насекомые: царство — животные, тип — членистоногие, класс — насекомые.
Рыбы: царство — животные, тип — хордовые, класс — рыбы.
*Примечание. Корова: царство — животные, тип — хордовые, класс — млекопитающие.